La Bebida Helada

    

En un bar, hay un cubeta con hielo, en la cual una porción del hielo se ha derretido. El barman pone un cubo de hielo que pesa 20 gramos en una taza aislada que contiene 100 gramos de agua a 20 grados Celsius. ¿Se derretirá el cubo de hielo completamente? ¿Cuál será la temperatura final del agua en la taza?

Solución

Lo primero que tenemos que saber es que el hielo en la cubeta tiene una temperatura de 0 grados Celsius. ¿Cómo sabemos esto? La escala de temperatura Celsius define el 0°C cuando el hielo está en equilibrio térmico con el agua, y los 100°C cuando el agua está en equilibrio con el vapor. Una cubeta para hielo no proporciona refrigeración extra, sino que solamente mantiene el hielo en su temperatura de equilibrio con el agua que es el punto de fusión.
El calor específico (S_h) de una sustancia es la cantidad de calor necesaria para cambiar la temperatura de 1 gramo de la sustancia un grado Celsius. Por definición, el calor específico del agua es 1.0, y esta cantidad de calor se llama una caloría. Las etiquetas de nutrición reportan kilocalorías, que corresponden a 1000 calorías.
El calor latente es el calor necesario para cambiar el estado de una sustancia de sólido a líquido, o de líquido a gas. El agua está en equilibrio térmico con el hielo cuando ambos tienen la misma temperatura. El calor de fusión o congelación del agua, también llamado el calor de fusión (H_f), es 80 calorías por gramo a 0°C, que es la temperatura de equilibrio. En otras palabras, es necesario agregar 80 calorías de energía para fundir un gramo de hielo a 0°C. Para congelar un gramo de agua a 0°C, es necesario quitar 80 calorías de energía. El calor para hervir o condensar el agua a 100°C, llamado el calor de vaporización, es 539 calorías por gramo, aunque esto no es relevante para nuestro problema. La gráfica siguiente ilustra el efecto de la energía con respecto a la temperatura del agua en su estado sólido, líquido, y gaseoso.

El problema se puede resolver separándolo en dos partes. 1) La cantidad de energía necesaria para derretir el hielo es W_i×H_f, donde W_i es el peso del hielo. 2) Los 20 gramos de agua obtenidos al derretirse el hielo tienen que calentarse de 0°C, que es la temperatura del hielo, hasta la temperatura final T_f.
¿De dónde viene la energía para la derretir del hielo? Dado que el recipiente es una taza aislada, el calor tiene que venir de los 100 gramos de agua a 20°C. La cantidad de calor necesario para derretir el hielo y para aumentar la temperatura del agua resultante a la temperatura final es igual a la pérdida de calor por los 100 gramos de agua. Esto se puede expresar mediante la siguiente ecuación:

W_i×H_f + W_i×S_h×(T_f - 0°C) = W_w×S_h×(T_wi - T_f)

Donde
W_i = peso del hielo = 20g
H_f = calor de fusión = 80 calorías/gramo
W_w = peso del agua = 100g
T_f = temperatura final
T_wi = temperatura inincial del agua = 20°C
S_h = calor específico del agua = 1.0 calorías por gramo por °C

Sustituyendo los valores obtenemos:

20×80 + 20×1×(T_f - 0°C) = 100×1×(20°C - T_f)
1600 + 20T_f = 2000 - 100T_f
120T_f = 400
T_f = 400/120 = 3.3°C

La temperatura final es 3.3°C. Si hubiésemos tenido más hielo o menos agua, no hubiera habido suficiente energía en el agua para derretir todo el hielo. Una vez que la temperatura del agua llega a 0°C, no puede derretir más hielo.
¿Cuánto hielo puede derretirse por 100 g de agua a 20°C? Usando la ecuación anterior, donde la temperatura final es 0°C y el peso del hielo es desconocido, tenemos:

W_i×80 = 100×1×20

La cantidad máxima de hielo que puede derretirse es:

W_i = 2000/80 = 25 gramos

Si la cantidad de hielo es más de 25 gramos, el resto simplemente flotará en 125 gramos de agua a 0°C.

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La novena edición del Índice Merk lista el calor de fusión del agua como 1.436 kcal/mol y el calor de vaporización como 9.717 kcal/mol. Dado que el peso molecular del agua es 18.016 g/mol, H_f = 79.71 cal/g, y H_v = 539.35 cal/g.

http://www.scientificpsychic.com/mind/bebida-fria.html